数学．6
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的.
1．港珠澳大桥作为世界首例集桥梁、隧道和人工岛于一体的超级工程，创下了多项“世界之最”．它是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长米.其中海底隧道部分全长米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道.其中，数字用科学记数法表示为（）
A．67×B．6.7×C．6.7×D．0.67×
2．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于年在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会，又举办过冬奥会的城市.下面的图形是各届冬奥会会徽中的部分图案，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（
）
3.如图，小林利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD=AB．若点D恰好为CE的中点，则下列结论中错误的是（）
A．CD=DE；B．AB=DE；
C．；D．CE=2AB.
4.如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab-b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．（a-b）2=a2-2ab-b2
5.如图，在数轴上，点B在点A的右侧.已知点A对应的数为-1，点B对应的数为m.若在AB之间有一点C，点C到原点的距离为2，且AC-BC=2，则m的值为（）
A.4B．3C．2D．1
6.如果x2+2x-2=0，那么代数式的值为（）
A．-2B．-1C．1D．2
7．新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，从最初转产时的陌生，到正式投产后达成日均生产万个口罩的产能.不仅效率高，而且口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”.以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据,统计如下
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下面四个推断合理的是（）
A．当抽检口罩的数量是00个时，口罩合格的数量是个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.；
B．由于抽检口罩的数量分别是50和个时,口罩合格率均是0.，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.；
C．随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是0.；
D．当抽检口罩的数量达到0个时，“口罩合格”的概率一定是0.．
8.如图，点C、A、M、N在同一条直线l上．其中，△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，四边形MNPQ为正方形，且AC=4，MN=2，将等腰Rt△ABC沿直线l向右平移．若起始位置为点A与点M重合，终止位置为点C与点N重合.设点A平移的距离为x，两个图形重叠部分的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．分解因式：=．
10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．
如图，已知菱形ABCD，通过测量、计算得菱形ABCD的面积约为cm2．（结果保留一位小数）
12．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角，若∠A=°，则∠1+∠2+∠3+∠4=°.
13.已知“若ab，则acbc”是真命题，请写出一个满足条件的c的值是.
14.如图，小*在A时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是60°，当他在B时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是30°，若两次测得的影长之差DE为4m，则树的高度为m．
（结果精确到0.1，参考数据：，）
已知：点A、点B在直线MN的两侧．
（点A到直线MN的距离小于点B到直线MN的距离）．
如图，
（1）作点B关于直线MN的对称点C；
（2）以点C为圆心，的长为半径作⊙C，交BC于点E；
（3）过点A作⊙C的切线，交⊙C于点F，交直线MN于点P；
（4）连接PB、PC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
①PE是⊙C的切线；②PC平分；
③PB=PC=PF；④∠APN=2∠BPN．
所有正确结论的序号是．
16.某校举办初中生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分），其中甲的部分信息不小心被涂黑了．
据悉，甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为20分．设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为x和y，请用含x和y的二元一次方程表示乙同学“趣题巧解和数学应用”两项得分折算后的分数之和为；如果甲获得了大赛一等奖，那么甲的“数学应用”项目至少获得分．
三、解答题（共68分，其中17~22题每题5分，23~26题每题6分，27、28题每题7分）
17．计算：．
18.解不等式组：．
19．在ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于点E，求∠DAE的度数.
20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-4=0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根．
21.如图，在△AOC中，OA=OC，OD是AC边中线.延长AO至点B，作∠COB的角平分线OH，过点C作CF⊥OH于点F.
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）连接DF，若，CF=8，求DF的长.
22.在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+b与反比例函数在第一象限内的图象交于点A（4，m）.
（1）求m、b的值；
（2）点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为1.若在直线l上存在一点P（点P不与点A重合），使得AP≤AB，结合图象直接写出点P的横坐标xp的取值范围.
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC平分∠BAD，过点C的切线交直径AB的延长线于点E，连接AD、BC．
（1）求证：∠BCE＝∠CAD；
（2）若AB＝10，AD＝6，求CE的长．
24．“垃圾分类就是新时尚”．树立正确的垃圾分类观念，促进青少年养成良好的文明习惯，对于增强公共意识，提升文明素质具有重要意义．为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如下：
甲校学生样本成绩频数分布表(表1）乙校学生样本成绩扇形统计图（图1）
b．甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如下表所示：（表2）
其中，乙校20名学生样本成绩的数据如下：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）表1中c＝ ；表2中的众数n＝ ；
（2）乙校学生样本成绩扇形统计图（图1）中，70≤m＜80这一组成绩所在扇形的圆心角度数是 度；
（3）在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”），理由是 ；
（4）若乙校0名学生都参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请估计乙校成绩优秀的学生约为 人．
25.有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
文文根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是文文的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是；
（2）下表是y与x的几组对应值：
则m的值为；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程的正数根约为.（结果精确到0.1）
26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．
（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y=ax2-2（）与线段AE恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
27.已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°∠CAN°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN=60°．
（1）若点C位置如图1所示．
①依据题意补全图1；
②求证：∠CDB=∠MAC；
（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD=3，并证明．
28.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），且x1x2，y1=y2.给出如下定义：若平面上存在一点P，使△APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”.
（1）已知点A的坐标为（1，0）.
①若点B的坐标为（5，0），在点P1（4，3）、P2（3，-2）和P3（2，）中，是点A、点B的“直角点”的是；
②点B在x轴的正半轴上，且AB=，当直线y=-x+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，点D（1，4）为点E（0，2）、点F（m，n）的“直角点”，若使得
△DEF与⊙O有交点，直接写出半径r的取值范围.
备用图
北京密云初三二模数学
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．3a（x+2）（x-2）；10．；11．1.8（±0.1）；12．°；
13．-1（答案不唯一，负数即可）；14．3.5；15．①②④；
16．80x+60y=70-20（或80x+60y=50）；90．
三、解答题（本题共68分．第17～22题，每题各5分；第23～26题，每题各6分；第27、28题，每题各7分）
说明：与参考答案不同，但解答正确相应给分．
原式＝………………………………4分
………………………………5分
18．解：由①得：x≥1………………………………2分
由②得：x3………………………………4分
不等式组的解集：1≤x3………………………………5分
19．解：∵DB=DC，∠C=70°
∴∠DBC=∠C=70°………………………………2分
∵ABCD中，AD//BC
∴∠ADB=∠DBC=70°………………………………3分
∵AE⊥BD
∴∠AED=90°………………………………4分
∴在△AED中，∠DAE=20°………………………………5分
20.（1）解：a=1，b=2，c=m-4
∴△=b2-4ac……………………………………………………1分
=22-4（m-4）
=20-4m
∵一元二次方程x2+2x+m-4=0有两个实数根，
∴20-4m≥0……………………………………………2分
m≤5.……………………………………………3分
（2）解：当m=1时，x2+2x-3=0.……………………………………………4分
解得x1=1，x2=-3.（答案不唯一）………………………………………………5分
21．(1)证明：∵在△AOC中，OA=OC，OD是AC边中线
∴OD⊥AC,OD平分∠AOC
∴∠ODC=90°，∠COD=∠AOC………1分
∵OH平分∠COB，
∴∠COF=∠COB，
∵∠AOC+∠COB=°，
∴∠COD+∠COF=90°，即∠DOF=90°……………2分
∵CF⊥OH
∴∠CFO=90°
∴四边形CDOF是矩形……………………………3分
（2）解：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO
∵CD//OF
∴∠ACO=∠COF
∴
∴……………………………4分
∴设OF=3x，OC=5x，则CF=4x
∵CF=8
∴x=2
∴OC=10
∴在矩形CDOF中，DF=OC=10……………………………5分
22.解：（1）∵经过点A（4，m）
∴m=1………………………………1分
∴A（4，1），
∵y=x+b经过点A（4，1）
∴4+b=1
b=-3……………………2分
（2）1≤xp≤7且xp≠4……………………5分
23．（1）证明：连接OC………………………………1分
∵CE是⊙O的切线
∴OC⊥CE
∴∠OCB+∠BCE=90°
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠OBC=90°
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CAB=∠BCE…………………………………2分
∵AC平分∠DAB
∴∠CAD=∠CAB
∴∠CAD=∠BCE…………………………………3分
（2）解：连接BD…………………………………4分
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°，
∵AB=10，AD=6
∴BD=8
∵AC平分∠DAB
∴
∴OC⊥BD，DH=BH=4………………………………5分
∴OH=3
∵OC⊥CE
∴BD//CE
∴△OHB～△OCE
∴
∴
∴………………………………6分
24．解：（1）c=0.25，n=87；………………………………2分
（2）54°………………………………3分
（3）甲，因为该学生的成绩是79分，略高于甲校的样本成绩数据的中位数77分，符
合该生的成绩在甲校排名是前10名的要求；………………………………5分
（4）人………………………………6分
25．（1）x取任意实数………………………………1分
（2）………………………………2分
（3）
………………………………4分
（4）0.3或2.7………………………………6分
26．（1）解：∵直线y=kx+3经过点B（3，0）
∴3k+3=0
k=-1………………………………1分
∴y=-x+3与y轴的交点，即为点C（0，3）………………………………2分
（2）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）
∴y=x2+bx+3
∴9+3b+3=0
b=-4
∴抛物线C1的函数表达式为y=x2-4x+3………………………3分
∴y=（x-2）2-1
∴顶点D的坐标为（2，-1）………………………………4分
（3）解：∵点E是点D关于原点的对称点
∴点E的坐标为（-2，1）
当y=ax2-2经过点E（-2，1）时，a=
当y=ax2-2经过点A（1，0）时，a=2
∴a的取值范围是≤a2……………6分
27.(1)①
………………………………2分
②证明：∵∠C=60°，∠DBN=60°
∴∠C=∠DBN
∵∠DBN+∠ABD=°
∴∠C+∠ABD=°
在四边形ACDB中，∠CDB+∠BAC=°
∵∠BAC+∠MAC=°
∴∠CDB=∠MAC………………………………4分
(2)BC=3时，对于任意一点C，总有AB+BD=3………………………………5分
证明：连接BC，在直线MN上截取AH=BD，连接CH
∵∠MAC=∠CDB，AC=CD
∴………………6分
∴∠ACH=∠DCB，CH=CB
∵∠DCB+∠ACB=∠ACD=60°
∴∠HCB=∠ACH+∠ACB=60°
∴△HCB是等边三角形.
∴BC=BH=BA+BD=3.………………………………7分
28．(1)①P2，P3………………………………2分
②∵A（1，0）,
∴线段AB的中点C（，0）
∴点A、B的“直角点”在以点C为圆心，的长为半径的⊙C上
∴当直线y=-x+b与⊙C相切于点D，与两坐标轴相交于点M、N时，
∵∠M=45°，CD=
∴CM=2………………………………3分
∴OM=OC+CM=+1+2=+3，
∴ON=OM=+3
即b=+3……4分
同理：当直线y=-x+b与⊙C相切于点E时，
CH=2
∴OH=OC-CH=-1
即b=-1
综上所述：……………5分
（2）………………7分
